3. Хоровод стрелок: фаза, сдвиг фаз и вектор

1. Крючок (10 секунд)

Две синусоиды одной частоты, но одна доходит до пика позже другой. Говорят: одна «опережает», другая «отстаёт». Рисовать каждый раз две волны — долго и неудобно.

Инженеры придумали фокус: заменить целую волну одной короткой стрелкой. Длина стрелки — амплитуда, угол — фаза. Весь переменный ток превращается в хоровод вращающихся стрелок. Сегодня научимся ими пользоваться — это ключ ко всему, что дальше.

2. Сквозная метафора: два бегуна по стадиону

Два бегуна бегут по круговой дорожке с одинаковой скоростью (одна частота). Но второй стартовал чуть позже и всё время держится на 30° позади первого. Этот постоянный разрыв — и есть фаза.

• Первый бегун = напряжение.
• Второй, отстающий на 30° = ток.
• Их «тень на трибуне» (проекция) — те самые две синусоиды.

Стрелка от центра к бегуну — это фазор (вектор). Он крутится, но разрыв между стрелками застыл. Держим стадион в голове весь урок.

3. Ядро без воды

3.1. Что такое фаза и сдвиг фаз

Если синусоида проходит через ноль не в тот же миг, что другая (той же частоты), между ними есть сдвиг фаз $\Phi$ — угол «отставания» или «опережения».

• $\Phi = 0$ → волны в фазе (горбы совпадают).
• $\Phi \neq 0$ → волны не в фазе: одна «лидирует» (leads), другая «отстаёт» (lags).

Обобщённая запись любой AC-величины:

• $a(t)$ — мгновенное значение, В или А
• $A_{MAX}$ — амплитуда, В или А
• $\omega$ — угловая частота, рад/с
• $t$ — время, с
• $\Phi$ — сдвиг фаз, радианы или градусы
• знак + = опережает, − = отстаёт

Пример из книги: напряжение $v(t)=V_{MAX}\sin(\omega t)$, ток $i(t)=I_{MAX}\sin(\omega t - 30°)$ — ток отстаёт от напряжения на 30°.

3.2. Фазор — «замороженная стрелка»

Фазор — это стрелка (вектор), у которой длина = амплитуда, а угол = фаза. Мы как будто нажали «паузу» на вращении и смотрим на застывшие стрелки.

На фазорной диаграмме:

• напряжение — стрелка вдоль опорной оси;
• ток — стрелка, повёрнутая на угол $\Phi$ (для отставания — по часовой вниз).

Обе стрелки крутятся вместе, поэтому угол между ними не меняется — его и рисуем.

3.3. Язык стрелок — комплексные числа

Чтобы стрелки можно было складывать и делить, их записывают комплексными числами. Появляется оператор $j$ (мнимая единица), означающий поворот на 90°:

Прямоугольная форма — координаты конца стрелки:

• $a$ — «реальная» часть (по горизонтали)
• $b$ — «мнимая» часть (по вертикали)
• $j$ — оператор поворота на 90°

Полярная форма — длина и угол той же стрелки:

• $A$ — длина стрелки (модуль)
• $\theta$ — угол стрелки

Переход между формами — обычная геометрия прямоугольного треугольника:

4. Концептуальный чек-ап

5. Разбор задачи по шагам

Дано: фазор в прямоугольной форме $Z = 5{,}2 + j3$. Перевести в полярную.

Проверка (обратно): $a = 6\cos30° = 6 \cdot 0{,}866 = 5{,}2$; $b = 6\sin30° = 6 \cdot 0{,}5 = 3$. Сходится.

6. Практика на верстаке

$ 1 0.000005 10.20 50 5 43 5e-11
v 144 288 144 144 0 1 1000 5 0 0 0.5
r 144 144 320 144 0 1600
c 320 144 320 288 0 1e-7 0
w 144 288 320 288 0
g 144 288 144 336 0 0

Прогноз до запуска. Параметры выбраны не случайно: при $R = 1{,}6$ кОм и $C = 100$ нФ частота среза $f_c = 1/(2\pi RC) \approx 995$ Гц — почти ровно наша 1 кГц. А на частоте среза сдвиг всегда 45°. Посчитай сам, потом проверь курсорами.

Дальше покрути частоту источника (двойной клик по нему): на 100 Гц сдвиг почти исчезнет, на 10 кГц приблизится к 90°. Это и есть вывод, ради которого затевался урок — сдвиг фаз зависит от частоты. Мостик к урокам 4–5.

Сборка 1 — Увидеть сдвиг фаз двумя лучами (обязательная)

Что собрать: генератор синус 1 кГц → на вход простой RC-цепочки ($R=1{,}6\ \text{кОм}, C=100\ \text{нФ}$). Канал 1 скопа Rigol — на вход, канал 2 — на выход (на конденсаторе).

Что увидеть/измерить: две синусоиды на экране, но вторая сдвинута — доходит до пика позже. Курсорами измеряем сдвиг во времени $\Delta t$ и переводим в угол: $\Phi = 360° \cdot \Delta t / T$. Вот он, живой сдвиг фаз — не картинка из книги.

Сломать / довести до предела: крути частоту. Сдвиг фаз меняется — на низкой почти ноль, на высокой растёт к 90°. Ученик видит: фаза зависит от частоты (мостик к урокам 4–5).

Сборка 2 — Фигуры Лиссажу (режим X-Y)

Что собрать: тот же вход и выход RC, но скоп в режиме X-Y (один сигнал по горизонтали, другой по вертикали).

Что увидеть: вместо волн — эллипс. При нулевом сдвиге он схлопывается в прямую линию, при 90° — раскрывается в круг. Форма эллипса напрямую показывает фазу. Красиво и наглядно — «фаза глазами».

Сломать: подай на оба канала один и тот же сигнал → эллипс превратится в идеальную диагональ (сдвиг 0°).

Сборка 3 — Стрелки из микроконтроллера (продвинутая)

Что собрать: на ESP32/STM32 нарисуй на дисплейчике (или в Serial Plotter) две вращающиеся стрелки-фазора с задаваемым углом между ними и их проекции-синусоиды.

Что увидеть: крутишь угол в коде — на глазах разъезжаются волны. Связь «стрелка ↔ синусоида» становится осязаемой и своей.

7. Разноуровневые задания

8. Итог урока (30 секунд)

Целую волну можно заменить одной стрелкой: длина — амплитуда, угол — фаза. Отстающий бегун на стадионе — это ток, отстающий от напряжения. Стрелки записывают комплексными числами: прямоугольная форма — чтобы складывать, полярная — чтобы умножать. Сегодня мы увидели сдвиг фаз на двух лучах и в фигурах Лиссажу.

Дополнительные вопросы