7. Считаем сложную схему до пайки

1. Крючок (10 секунд)

Инженер не тыкает детали наугад — он знает ответ заранее. Дай ему схему с двумя батарейками и одним общим резистором, и он скажет ток в нём, не притрагиваясь к паяльнику. Сегодня получим ту же суперсилу: посчитаем схему из учебника двумя способами и увидим — оба дают один и тот же ответ, 11.44 В на нагрузке. А потом проверим на приборе.

2. Сквозная метафора урока: круговые автобусные маршруты

• Метод контурных токов: представь два кольцевых автобусных маршрута по общим улицам. У каждого — свой «поток» (контурный ток). На общей улице (общий резистор) потоки складываются/вычитаются.
• Метод узловых напряжений: наоборот, следим за «высотой» (потенциалом) на перекрёстках и считаем, как между ними перетекает ток.

Два взгляда на один город — оба приводят к одному ответу.

3. Адаптированное ядро

Блок 1. Схема-эталон (из учебника)

Две батареи $V_1 = 10$ В и $V_2 = 20$ В, резисторы $R_1 = 10\ \Omega$, $R_2 = 20\ \Omega$ и общий $R_3 = 40\ \Omega$ посередине. Задача — найти ток и напряжение на $R_3$.

Блок 2. Метод контурных токов (mesh)

Идея: каждому «окну» схемы (контуру без вложенных петель) назначаем свой ток $I_1$, $I_2$. Пишем KVL для каждого контура. Общий резистор $R_3$ несёт разность контурных токов $(I_1 - I_2)$.

Контур 1: $\;10 = I_1\cdot10 + (I_1 - I_2)\cdot40$ Контур 2: $\;-20 = I_2\cdot20 + (I_2 - I_1)\cdot40$

Решаем систему (для школьников — как два уравнения с двумя неизвестными, без матриц):

Ток через $R_3$: $\;I_3 = I_1 - I_2 = 0{,}143 - (-0{,}429) = 0{,}286\ \text{А}$. Напряжение: $\;V_{R3} = I_3 \cdot R_3 = 0{,}286 \times 40 = 11{,}44\ \text{В}$.

Блок 3. Метод узловых напряжений (nodal)

Идея: выбираем один узел «землёй» (0 В), для остальных пишем KCL, выражая токи через разности напряжений и закон Ома. Для средней точки $V_B$:

Здесь $V_A = 10$ В, $V_C = 20$ В (потенциалы, заданные источниками). Решая:

Тот же ответ. Два разных пути — одна истина.

Блок 4. Какой метод когда

• Контурные токи удобны, когда в схеме мало контуров и много узлов.
• Узловые напряжения удобны, когда мало узлов и много ветвей. Оба опираются на Кирхгофа и закон Ома — ничего нового, только организованный порядок.

4. Концептуальный чек-ап

5. Разбор задачи (пошагово)

Дано: схема-эталон выше. Найти напряжение на $R_3$ методом контурных токов.

6. Практика на верстаке

$ 1 0.000005 10.20 50 5 43 5e-11
v 112 320 112 160 0 0 40 10 0 0 0.5
r 112 160 288 160 0 10
r 288 160 464 160 0 20
v 464 320 464 160 0 0 40 20 0 0 0.5
r 288 160 288 320 0 40
w 112 320 288 320 0
w 288 320 464 320 0
g 288 320 288 368 0 0

Главная ценность симулятора именно здесь. Схему с двумя источниками нельзя посчитать «в лоб» по закону Ома — нужна система уравнений, и в ней легко ошибиться со знаком. Falstad даёт независимый ответ за секунду.

Порядок работы правильный и он же единственно полезный:

1. Реши систему сам (контурными токами или узловым методом) — получи 11,43 В.
2. Открой схему и наведи курсор на R₃.
3. Сошлось — метод освоен, можно идти к макетке. Не сошлось — ищи ошибку в знаках, пока не сошлось.

Симулятор здесь не избавляет от расчёта, а делает его проверяемым: раньше единственным арбитром был ответ в конце учебника, теперь — работающая схема.

Сборка A — «Предскажи, потом собери» (базовая)

Что собрать: схему-эталон (10 В, 20 В, 10/20/40 Ω) на макетке. Что измерить: сначала запиши расчётные 11.44 В и 0.286 А, потом измерь мультиметром на $R_3$. Совпадение до десятых — победа расчёта. Предел: намеренно ошибись в полярности одного источника — измерение резко разойдётся с расчётом; исправь и проверь снова.

Сборка B — «Второй метод — та же истина» (базовая)

Что собрать: та же схема. Что измерить: измерь потенциал средней точки $V_B$ относительно «земли». Должно выйти ~11.44 В — то, что предсказал узловой метод. Предел: поменяй $R_3$ на другой номинал — пересчитай обоими методами и снова сверь с прибором.

Сборка C — «Что если источники равны/противоположны» (продвинутая)

Что собрать: сделай $V_1 = V_2$, затем разверни один навстречу. Что увидеть: при равных и согласных источниках ток в $R_3$ один; при встречных — другой (вплоть до смены направления). Предел: найди комбинацию, при которой ток через $R_3$ равен нулю, и объясни через расчёт. Можно вывести напряжение $R_3$ на осциллограф и переключать источники, наблюдая скачки.

7. Разноуровневые задания (5 шт.)

8. Итог урока (30 секунд)

Два маршрута — один город. Контурные токи и узловые напряжения — разные дороги к одному ответу (11.44 В). Теперь мы предсказываем поведение прибора до пайки и умеем себя перепроверять.

Дополнительные вопросы