8. Чёрный ящик: Тевенен и Нортон

1. Крючок (10 секунд)

Большой завод с улицы выглядит как одна дверь: заходишь — за ней ровно столько «давления», сколько нужно. Что там внутри — цеха, трубы, тысячи деталей — тебе всё равно. Тевенен доказал: любая сложная схема, как бы она ни была устроена, снаружи ведёт себя как одна батарейка с одним резистором. Сегодня научимся видеть этот «чёрный ящик».

2. Сквозная метафора урока: одна дверь завода

• Напряжение холостого хода ($V_{EQ}$) — «давление за дверью», когда ничего не подключено.
• Внутреннее сопротивление ($R_{EQ}$) — «насколько сильно завод проседает», когда начинаешь качать.
• Тевенен показывает завод как дверь с башней (источник напряжения), Нортон — как дверь с насосом (источник тока). Это две модели одного и того же завода.

3. Адаптированное ядро

Блок 1. Теорема Тевенена

Любая линейная схема с источниками и резисторами, если смотреть на неё через два вывода A–B, равна одному источнику напряжения $V_{EQ}$ последовательно с одним сопротивлением $R_{EQ}$.

Как найти (по учебнику, на схеме-эталоне из урока 7):

Снова 0.286 А — тот же ответ, что и контурным/узловым методом. Чёрный ящик работает.

Блок 2. Теорема Нортона

То же самое, но модель — источник тока $I_{EQ}$ параллельно с $R_{EQ}$.

• $R_{EQ}$ — то же, что у Тевенена (6.67 Ω).
• $I_{EQ}$ — ток короткого замыкания выводов A–B. По учебнику: закоротив A–B, получаем $I_1 = 10/10 = 1$ А и $I_2 = 20/20 = 1$ А, значит $I_{EQ} = 1 + 1 = 2$ А.

Подключив нагрузку 40 Ω к источнику 2 А параллельно с 6.67 Ω, снова получаем $V_{AB} = 11{,}44$ В и ток нагрузки 0.286 А.

Блок 3. Пересчёт Тевенен ↔ Нортон

Это две стороны одной монеты:

Дверь-с-башней и дверь-с-насосом взаимозаменяемы. Что удобнее — то и берём.

Блок 4. Зачем это приборе

Батарея прибора — не идеальна: у неё есть внутреннее сопротивление (мы видели просадку на уроке 3). Свернув «батарея + провода» в Тевенен-модель ($V_{EQ}$, $R_{EQ}$), мы на финале точно подберём нагрузку под этот $R_{EQ}$ — и получим максимум мощности.

4. Концептуальный чек-ап

5. Разбор задачи (пошагово)

Дано: нужно измерить Тевенен-эквивалент реальной схемы (или батареи) на выводах A–B.

6. Практика на верстаке

Доказательство эквивалентности: две схемы, один результат

Теорема Тевенена звучит как фокус: «любую схему из источников и резисторов можно заменить одной батарейкой и одним резистором». Поверить в это на слово трудно. Проверим.

Схема 1 — настоящая. Источник 20 В, делитель 10 Ω / 20 Ω, нагрузка 20 Ω:

$ 1 0.000005 10.20 50 5 43 5e-11
v 112 320 112 144 0 0 40 20 0 0 0.5
r 112 144 288 144 0 10
r 288 144 288 320 0 20
w 288 144 448 144 0
r 448 144 448 320 0 20
w 112 320 288 320 0
w 288 320 448 320 0
g 288 320 288 368 0 0

Схема 2 — эквивалент Тевенена. Вместо всей левой части — один источник 13,33 В и один резистор 6,67 Ω. Та же нагрузка:

$ 1 0.000005 10.20 50 5 43 5e-11
v 144 320 144 144 0 0 40 13.333 0 0 0.5
r 144 144 320 144 0 6.667
r 320 144 320 320 0 20
w 144 320 320 320 0
g 144 320 144 368 0 0

Откуда взялись 13,33 и 6,67. Напряжение холостого хода — это делитель без нагрузки: $20 \cdot 20/(10+20) = 13{,}33$ В. Внутреннее сопротивление — оба резистора параллельно (источник мысленно закорачивается): $10 \cdot 20/(10+20) = 6{,}67$ Ω. Те же числа, что в разборе задачи выше.

Что проверить. Открой обе схемы и сравни показания на нагрузке: 10 В и 500 мА в обеих. Теперь поменяй нагрузку с 20 Ω на 40 Ω — сначала в одной схеме, потом в другой. Показания снова совпадут.

Вот это и есть смысл теоремы: нагрузка физически не может отличить одну схему от другой. Что бы к ним ни подключили, они ведут себя одинаково. Именно поэтому сложную схему можно свернуть в «батарейку с внутренним сопротивлением» и дальше не думать о её внутренностях.

Сборка A — «Открой чёрный ящик» (базовая)

Что собрать: схему-эталон (10 В, 20 В, 10/20 Ω) с выводами A–B, нагрузка снята. Что измерить: $V_{EQ}$ на A–B (ждём ~13.33 В), затем $R_{EQ}$ через короткое (ждём ~6.67 Ω). Предел: подключи нагрузку 40 Ω и измерь ток — должно выйти 0.286 А, как предсказала модель.

Сборка B — «Батарея — это тоже Тевенен» (базовая, связь с уроком 3)

Что собрать: батарея + известная нагрузка. Что измерить: напряжение без нагрузки и под нагрузкой; из просадки вычисли внутреннее сопротивление $R_{EQ}$ батареи. Предел: нагружай сильнее — просадка растёт ровно так, как предсказывает Тевенен-модель.

Сборка C — «Тевенен = Нортон» (продвинутая)

Что собрать: тот же чёрный ящик. Что измерить: найди $V_{EQ}$ и $I_{KZ}$, проверь $V_{EQ} = I_{KZ}\cdot R_{EQ}$ (13.33 ≈ 2 × 6.67). Предел: предскажи ток нагрузки обеими моделями и убедись, что ответы совпадают. Две двери — один завод.

7. Разноуровневые задания (5 шт.)

8. Итог урока (30 секунд)

Одна дверь завода. Любая схема снаружи = источник $V_{EQ}$ + сопротивление $R_{EQ}$ (Тевенен) или источник тока $I_{EQ}$ ∥ $R_{EQ}$ (Нортон). Мы свернули питание прибора в простую модель — и готовы к главному.

Дополнительные вопросы