Урок 6. Выборка по пространству и передискретизация

Урок 6. Выборка по пространству: почему лучше «мельче, чем надо»

Паспорт урока

Параметр	Значение
Место в модуле	WarWalk, модуль 3 «Статистика», урок 6 из 7
Длительность	45 мин
Возраст	14–16
Оборудование	Код прошивки, SQL-вьюха `warwalk_grid`, калькулятор
Предварительные знания	Уроки 1–5
Предмет	Информатика (дискретизация), математика

Образовательные цели

№	Цель	Блум	Миллер	Чем доказывается
6.1	Обосновывать частоту пространственной выборки	оценивать	знает как	Ответ: почему передискретизация безопаснее
6.2	Рассчитывать пространственный шаг измерений	применять	показывает как	Расчёт из скорости и периода
6.3	Объяснять необратимость потери данных при агрегации	понимать	знает как	Ответ: почему нельзя вернуть выброшенное
6.4	Обосновывать выбор медианы для агрегации по ячейке	оценивать	знает как	Разбор: почему не среднее и не максимум

Сценарий занятия (45 минут)

Время	Блок	Что делает педагог	Что делают ученики
0–5	Retrieval	Мини-квиз по уроку 5	Пишут, разбор
5–13	Расчёт шага	Как часто мы измеряем?	Считают
13–25	Теория	Масштабы явлений и выборка	Сопоставляют
25–33	Агрегация	Сетка и медиана по ячейке	Разбирают
33–42	Практика	Задачи	Решают
42–45	Итог и ДЗ	Фиксация	Записывают

Блок 1. Расчёт шага выборки (5–13 мин)

Задание классу

Дано: маячок передаёт 1 раз в секунду, ходок идёт со скоростью около 1,4 м/с, строка с координатой пишется каждые 2 секунды.

«Посчитайте: через сколько метров мы получаем одно измерение? А одну строку в лог?»

Расчёт

Величина	Формула	Результат
Шаг между пакетами	1,4 м/с × 1 с	≈ 1,4 м
Шаг между строками лога	1,4 м/с × 2 с	≈ 2,8 м
Окно медианы (5 пакетов)	5 × 1,4 м	≈ 7 м

Вопрос

«Достаточно ли это часто? Чтобы ответить, надо знать, какие явления мы хотим увидеть и на каком масштабе они происходят.»

Блок 2. Теория (13–25 мин)

2.1. Базовый уровень (14 лет)

Через фотографию.

Если фотографируешь мелкий текст, нужно много пикселей. Снимешь с малым разрешением — буквы сольются, и увеличить обратно уже не получится: информации нет.
Наоборот, снял с запасом — всегда можно уменьшить. Уменьшить можно, увеличить нельзя.

Перенос:

Наши измерения — это «пиксели» карты. Лучше сделать их чаще, чем нужно: лишнее потом усредним. А если измеряли редко, детали не восстановить.

2.2. Углублённый уровень (14–16 лет)

Шаг 1. Два масштаба явлений (из урока 4).

Явление	Характерный масштаб
Быстрые замирания (многолучёвка)	сантиметры (λ/2 ≈ 17 см)
Медленные замирания (затенение)	десятки метров

Шаг 2. Что мы хотим увидеть.

Нам нужны медленные замирания — тени зданий, дыры покрытия. Быстрые — помеха, которую надо погасить (урок 4).

Шаг 3. Критерий Ли.

Классическое правило: усреднять по интервалу около 40 длин волн:

40\lambda = 40 \times 0{,}345 \approx 13{,}8\ \text{м}

Наше окно медианы — около 7 м, то есть примерно вдвое меньше. Это осознанный компромисс: меньшее окно сохраняет резкость границ теней.

Шаг 4. Масштаб декорреляции затенения.

Затенение декоррелирует на десятках метров (типично 20–80 м в городской застройке). Чтобы разрешить такую структуру, шаг выборки должен быть существенно меньше этого масштаба.

Наши 2,8 м на строку — примерно в 10–30 раз мельче характерного масштаба явления. Это и называется передискретизацией.

Шаг 5. Почему передискретизация — это правильно.

Ключевой принцип урока: «мельче, чем надо» безопаснее, чем «крупнее, чем надо».

Причина асимметрична и необратима:

Действие	Возможно?
Проредить и агрегировать частые данные	да, на этапе визуализации
Восстановить детали из редких данных	нет, информация утрачена

Ошибка в сторону избыточности исправима, ошибка в сторону недостаточности — нет.

Шаг 6. Тот же принцип в других областях.

Область	Проявление
Звукозапись	пишут с запасом по частоте и разрядности, сжимают потом
Фотография	снимают в RAW, обрабатывают после
Научный эксперимент	пишут сырые данные, обрабатывают многократно
Наш проект	пишут CSV-лог всегда (RFCurtain, урок 5)

Блок 3. Агрегация: сетка и медиана (25–33 мин)

Зачем агрегировать

«Мы собрали тысячи точек с шагом 2,8 м. Для карты это избыточно: точки накладываются, картинка становится нечитаемой. Нужна агрегация.»

Как устроена сетка

SQL-вьюха warwalk_grid округляет координаты до четырёх знаков после запятой — это примерно 11 м по широте — и вычисляет медиану по каждой ячейке.

Почему медиана, а не среднее и не максимум

Оценка	Что даст	Годится?
Медиана	типичное значение в ячейке, устойчиво к выбросам	да
Среднее	сместится от одиночного сильного отражения	нет
Максимум	покажет лучший случай — карта станет оптимистичной	категорически нет
Минимум	покажет худший — карта станет пессимистичной	нет

Почему максимум особенно опасен. Он систематически завышает оценку покрытия: в каждой ячейке будет отражена самая удачная точка. Это усилило бы ошибку выжившего из урока 5 — карта показала бы связь лучше реальной.

Медиана даёт типичное значение, что и требуется для планирования.

Размер ячейки

Ячейка около 10 м выбрана как компромисс:

Мелкая ячейка (2 м)	Крупная ячейка (50 м)
много ячеек с 1–2 точками	много точек в ячейке, устойчивая медиана
медиана неустойчива	теряются детали теней
карта шумная	карта слишком грубая

Правило: в ячейке должно быть несколько точек (3–10), чтобы медиана имела смысл.

Блок 4. Практические задачи (33–42 мин)

Уровень A (14 лет)

A1. Маячок шлёт раз в секунду, ходок идёт 1,4 м/с. Через сколько метров получается одно измерение?

Решение

1{,}4\ \frac{\text{м}}{\text{с}} \times 1\ \text{с} = \mathbf{1{,}4\ \text{м}}

A2. Почему лучше измерять чаще, чем нужно?

Ответ

Потому что лишние данные всегда можно усреднить и проредить при построении карты. А если измерений мало, детали восстановить невозможно — информации просто нет.

A3. Почему в ячейке сетки берут медиану, а не максимум?

Ответ

Максимум показал бы самое удачное измерение в ячейке, и карта выглядела бы лучше реальности. Медиана даёт типичное значение, которое честно описывает ситуацию в этом месте.

Уровень B (14–15 лет)

B1. Рассчитайте окно медианы в метрах при 5 пакетах, скорости 1,4 м/с и периоде маяка 1 с. Сравните с критерием Ли.

Решение

Окно: 5 пакетов × 1 с × 1,4 м/с = 7 м.

Критерий Ли: 40λ = 40 × 0,345 ≈ 13,8 м.

Наше окно вдвое меньше. Следствие: часть быстрых замираний остаётся в данных, но границы теней сохраняются резче. Осознанный компромисс в пользу детализации.

B2. Ячейка сетки — около 11 м, шаг между строками лога — 2,8 м. Сколько точек попадёт в одну ячейку при движении по прямой?

Решение

\frac{11\ \text{м}}{2{,}8\ \text{м}} \approx \mathbf{4\ \text{точки}}

Этого достаточно для устойчивой медианы. Если бы точек было 1–2, медиана не отличалась бы от единичного измерения и не гасила бы выбросы.

B3. Что произойдёт с картой, если увеличить период маяка до 5 секунд?

Решение

Шаг между измерениями вырастет до 1,4 × 5 = 7 м, между строками лога — до 14 м.

Последствия:

в ячейку 11 м попадёт менее одной точки — медиана потеряет смысл;
тени зданий шириной 10–20 м будут представлены одной-двумя точками — контур размоется;
быстрые замирания перестанут усредняться и войдут в результат как шум.

Вывод: карта станет одновременно грубее и шумнее. Восстановить детализацию по этим данным будет невозможно.

Уровень C (15–16 лет)

C1. Сформулируйте требование к шагу выборки исходя из масштаба явления, которое надо разрешить.

Разбор

Чтобы уверенно разрешить структуру характерного размера L, шаг выборки Δ должен удовлетворять:

\Delta \ll L

Практическое правило: не менее 5–10 отсчётов на характерный размер структуры.

Для наших теней (масштаб 20–80 м): требуется шаг не более 2–8 м. Наши 2,8 м попадают в требование.

Аналогия с теоремой отсчётов: в обработке сигналов частота дискретизации должна вдвое превышать максимальную частоту сигнала. Здесь роль частоты играет пространственная частота структуры, и запас берут больше двойного, поскольку нас интересует форма, а не только факт наличия.

C2. Почему принцип «мельче, чем надо» имеет предел? Что ограничивает бесконечное учащение?

Разбор

Ограничения:

Duty cycle. Частые передачи упираются в лимит занятости эфира (урок 2 RFCurtain, PowerSentry урок 5);
Энергия. Каждая передача расходует заряд маячка;
Объём данных. Тысячи точек за прогулку — уже сотни килобайт лога;
Физический предел полезности. Измерения на расстоянии меньше λ/2 (17 см) дают лишь картину быстрых замираний, которую мы всё равно усредняем;
Точность позиционирования. GPS даёт погрешность в единицы метров — измерения с шагом 20 см невозможно корректно привязать к координате.

Ключевой вывод: пункт 5 определяет практический предел. Нет смысла измерять чаще, чем позволяет точность привязки к местности. Шаг 2,8 м разумно согласован с точностью GPS.

C3. Предложите схему агрегации, сохраняющую информацию о разбросе внутри ячейки.

Разбор

Вместо одного числа хранить по каждой ячейке несколько статистик:

Статистика	Что показывает
Медиана	типичный уровень
σ (или межквартильный размах)	изменчивость: высокая указывает на многолучёвку или границу тени
Число точек	надёжность оценки в этой ячейке
Доля принятых окон	локальный PDR (урок 5)

Практическая ценность: ячейка с медианой −95 и σ = 2 дБ — стабильная зона; ячейка с той же медианой и σ = 10 дБ — зона с сильными замираниями, где связь ненадёжна, хотя «в среднем» приемлема.

Одно число скрывает это различие. Для планирования сети важна именно надёжность, а не средний уровень.

Это готовое улучшение для конкурсной работы: обогащение карты дополнительными слоями.

Ответы на вопросы, которые прозвучат

Вопрос ученика	Как отвечать
«Зачем собирать данные, которые потом выбросим?»	Мы не выбрасываем — мы агрегируем при показе. Сырые данные остаются, и их можно обработать иначе, если возникнет новый вопрос
«Почему ячейка именно 10 метров?»	Компромисс: в ячейке должно быть несколько точек для устойчивой медианы, но она не должна быть больше деталей, которые мы изучаем
«Можно ли автоматически подбирать размер ячейки?»	Да, есть адаптивные методы (например, ячейки переменного размера по плотности точек). Для школьного проекта фиксированная сетка проще и понятнее
«А если идти быстрее — данных будет меньше?»	Да, шаг увеличится пропорционально скорости. Поэтому в методике полевого выхода требуется равномерная скорость около 1,5 м/с
«GPS точнее нашего шага?»	Нет, наоборот: GPS даёт единицы метров, наш шаг 2,8 м. Они сопоставимы, и это правильно — измерять точнее привязки бессмысленно

Раздаточный лист (для печати)

Урок 6. Выборка по пространству
Расчёт шага (маячок 1 Гц, ходок 1,4 м/с, лог каждые 2 с):
Величина Расчёт Результат
Шаг между пакетами
Шаг между строками лога
Окно медианы (5 пакетов)
Масштабы явлений:
Явление Масштаб Это помеха или сигнал?
Быстрые замирания
Затенение (тени зданий)
Критерий Ли: 40λ = _____ м · Наше окно = _____ м
Главный принцип урока:
«_____________________» безопаснее, чем «_____________________»
Почему? _____________________________________________
Агрегация по сетке (ячейка ≈ 11 м):
Оценка в ячейке Что даст Годится?
Медиана
Среднее
Максимум
Сколько точек попадёт в ячейку при шаге 2,8 м? ______
Что ограничивает бесконечное учащение измерений (не менее трёх):
____________________________________
____________________________________
____________________________________

Домашнее задание

Обязательная часть

Врайтап по рубрике А. Обязательный пункт: объясните, почему нельзя восстановить детали из редких измерений.

Уровень A

Найти три примера, где «записали с запасом» оказалось полезным (фото в высоком разрешении, черновик, видеозапись).

Уровень B

Рассчитать шаг выборки при скорости 3 м/с (быстрая ходьба) и периоде маяка 2 с. Оценить, годится ли такая карта для изучения теней зданий шириной 15 м.

Ответ для педагога

Шаг: 3 × 2 = 6 м. На тень шириной 15 м придётся 2–3 точки.

Этого недостаточно: чтобы описать форму тени, нужно 5–10 точек. Карта покажет факт наличия тени, но не её границы и структуру.

Вывод: либо идти медленнее, либо чаще передавать. Это конкретное проектное решение, вытекающее из цели измерения.

Уровень C

Предложить схему обогащённой агрегации: какие статистики хранить по ячейке помимо медианы и что каждая даст для планирования сети.

Итог урока: что записать в журнал

Вывод урока 6

Шаг выборки определяется скоростью движения и периодом передач: у нас 1,4 м между пакетами, 2,8 м между строками лога.
Нас интересуют медленные замирания (десятки метров), быстрые — помеха.
Критерий Ли: окно около 40λ ≈ 14 м гасит быстрые замирания; наше окно 7 м — компромисс ради детализации.
Наш шаг в 10–30 раз мельче масштаба явления — это передискретизация, и она правильна.
«Мельче, чем надо» безопаснее, чем «крупнее, чем надо»: проредить можно, восстановить — нет.
Агрегация по сетке использует медиану: среднее подвержено выбросам, максимум систематически завышает покрытие.
Предел учащения задаётся duty cycle, энергией и точностью привязки к координате.

Связь с курсом

Что родилось на этом уроке	Где станет инструментом
Передискретизация	Урок 7 (агрегация против ловушки heatmap)
Медиана для агрегации	Урок 4 (робастность)
«Пишите сырые данные»	RFCurtain урок 5
Согласование шага с точностью привязки	Планирование любого эксперимента

Чек-лист педагога перед уроком

Готов пример SQL-вьюхи warwalk_grid для разбора
Проверены числа: шаг 1,4 м, лог 2,8 м, окно 7 м, критерий Ли 13,8 м
Раздаточный лист распечатан

Урок 5. Дыра покрытия — тоже данные Урок 7. Ловушка тепловых карт

Явление	Масштаб	Это помеха или сигнал?
Быстрые замирания
Затенение (тени зданий)