NAND-универсальность

NAND: один вентиль, из которого строится всё

Паспорт модуля

Параметр	Значение
Аудитория	все контуры; пройден М0
Аутентичная задача	собрать любой требуемый вентиль, имея в наличии только корпуса 74HC00 — базовый навык импортозамещения на уровне макетки
Объём	3 занятия × 60–90 мин
Оборудование	74HC00 ×3 (альтернатива КР1533ЛА3), макетка, DIP, светодиоды, 100 нФ на корпус, БП 5 В
Ограничения	5 В, без пайки

Аутентичная задача. После модуля обучающиеся смогут: реализовать произвольную булеву функцию 2–3 переменных только на И-НЕ и объяснить, почему этого достаточно, — идейный фундамент всей программы «NAND to Tetris».

Цели

№	Обучающиеся …	Блум—Андерсон	Миллер	Проверка
1	объясняют, почему NAND функционально полон	понимать	знает	устная защита схемы
2	собирают NOT/AND/OR/XOR из NAND на макетке	применять	показывает как	практикум с чек-листом
3	преобразуют заданную функцию к NAND-базису (де Морган)	анализировать	показывает как	письменная задача + сборка

Оценивание

Занятие	Цель	Средство	Тип
2	2	чек-лист 4 вентилей (все строки таблиц истинности)	формирующее
3	1, 3	сборка «функции по варианту» + вопрос «почему NAND хватает»	итоговое модуля

Путь

№	Тема	Цель занятия	Разминка	Активность	Мини-проверка
1	NAND и NOT	предсказывают выход NAND и строят из него NOT	3 перевода (М0)	worked example цоколёвки 74HC00, сборка NOT	таблица NAND от руки
2	AND, OR из NAND	собирают AND и OR, объясняют де Моргана «на пальцах»	таблица NAND	сборка с поддержкой → самостоятельная	чек-лист
3	XOR и своя функция	собирают XOR (4 NAND) и функцию по варианту	3 вопроса зан. 1–2	самостоятельная сборка по спецификации	защита

Содержание (ключевые разборы)

Worked example: корпус 74HC00

Цоколёвка (DIP-14): вентиль 1 — входы 1, 2, выход 3; вентиль 2 — 4, 5 → 6; GND — вывод 7; вентиль 3 — 9, 10 → 8; вентиль 4 — 12, 13 → 11; VCC — вывод 14. Ключ (выемка) — слева, счёт выводов против часовой. Развязка 100 нФ между 14 и 7 — обязательна, это уже рефлекс из правил комплекта.

    flowchart LR
    subgraph NOT из NAND
        A1[Вход A] --> N1[NAND]
        A1 --> N1
        N1 --> Y1[не A]
    end
    subgraph AND из NAND
        A2[A] --> N2[NAND]; B2[B] --> N2
        N2 --> N3[NAND-как-NOT] --> Y2[A и B]
    end

OR по де Моргану: A ∨ B = ¬(¬A ∧ ¬B) — два NAND-инвертора на входах + NAND: три вентиля. XOR — классика из четырёх NAND: средний узел ¬(A∧B) раздаётся на два боковых, выходы боковых — в финальный NAND. На разборе наставник прослеживает все 4 строки таблицы по схеме, обучающиеся предсказывают каждый промежуточный узел до включения.

Функциональная полнота — не фокус, а теорема: NOT и AND выразимы через NAND, а из {NOT, AND} строится любая булева функция (СДНФ). Для 🔴 — доказать полноту NOR самостоятельно.

NOT и AND на макетке

По разобранной схеме; каждый выход — на светодиод; полная таблица в протокол «предсказание → факт».

OR и XOR

🟢 по монтажной схеме, 🟡🔴 по логической схеме без монтажки.

Функция по варианту

Например: «зажечь светодиод, если ровно один из трёх входов равен 1». Сначала таблица → выражение → де Морган → NAND-схема в симуляторе → макетка.

Типичные ошибки: висящий вход CMOS «ловит» наводки — выход мигает сам по себе (правило: неиспользуемые входы — на GND или VCC); перепутан счёт выводов (счёт по часовой) — распознаётся мгновенным нарушением таблицы у «вентиля 1», который на деле вентиль 4; забытая развязка — редкие ложные переключения при щелчках нагрузкой.

Уровни

🟢 База

NOT/AND/OR по монтажным схемам, таблицы истинности заполнены полностью.

🟡 Продвинутый

XOR и функция варианта от таблицы до макетки без монтажной схемы.

🔴 Олимпиадный

Минимизация числа корпусов для функции варианта; доказательство полноты NOR; задача «мажоритарный элемент на 3 входа минимальным числом NAND».

Глоссарий

Функциональная полнота

Свойство набора вентилей, из которого выразима любая булева функция.

Закон де Моргана

¬(A∧B)=¬A∨¬B и ¬(A∨B)=¬A∧¬B — мост между И- и ИЛИ-схемами.

СДНФ

Запись функции как ИЛИ от И-термов по строкам таблицы, где функция равна 1.

Биты, числа и тренажёры Комбинационные узлы